Question

已知各项均为正数的等比数列{a_n}的首项a₁＝2，S_n为其前n项和，若5S₁，S₃，3S₂成等差数列．

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)设b_n＝log₂a_n，c_n＝，记数列{c_n}的前n项和T_n.若对n∈N^*，T_n≤k(n＋4)恒成立，求实数k的取值范围．

Answer

（1）an＝2n（2）

【解析】(1)设数列{an}的公比为q，∵5S1，S3，3S2成等差数列，

∴2S3＝5S1＋3S2，即2(a1＋a1q＋a1q2)＝5a1＋3(a1＋a1q)，

化简得2q2－q－6＝0，解得q＝2或q＝－.

因为数列{an}的各项均为正数，所以q＝－不合题意，

所以数列{an}的通项公式为an＝2n.

(2)由bn＝log2an得bn＝log22n＝n，

则cn＝＝＝－，

Tn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.

∵≤k(n＋4)，∴k≥＝.

∵n＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当n＝，即n＝2时等号成立，

∴≤，因此k≥，故实数k的取值范围为