Question

如图所示，在四棱锥P－ABCD中，△PBC为正三角形，PA⊥底面ABCD，其三视图如图所示，俯视图是直角梯形．

(1)求正视图的面积；

(2)求四棱锥P－ABCD的体积．

Answer

（1）（2）

【解析】(1)如图所示，过A作AE∥CD交BC于E，联结PE.根据三视图可知，E是BC的中点，

且BE＝CE＝1，AE＝CD＝1，

又∵△PBC为正三角形，

∴BC＝PB＝PC＝2，且PE⊥BC.

∴PE2＝PC2－CE2＝3.

∵PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，∴PA⊥AE，

∴PA2＝PE2－AE2＝2，即PA＝，

∴正视图的面积为S＝×2×＝.

(2)由(1)可知，四棱锥P－ABCD的高PA＝，

底面积为S＝·CD＝×1＝

∴四棱锥P－ABCD的体积V四棱锥P－ABCD＝S·PA＝××＝.