Question

设f(x)＝ln(x²＋1)，g(x)＝x²－.

(1)求F(x)＝f(x)－g(x)的单调区间，并证明对[－1，1]上的任意x₁，x₂，x₃，都有F(x₁)＋F(x₂)>F(x₃)；

(2)将y＝f(x)的图像向下平移a(a>0)个单位，同时将y＝g(x)的图像向上平移b(b>0)个单位，使它们恰有四个交点，求的取值范围．

Answer

（1）在(－∞，－1)和(0，1)上单调递增，在(－1，0)和(1，＋∞)上单调递减，证明见解析（2）<<1＋ln 2

【解析】(1)F(x)＝ln(x2＋1)－x2－，

F′(x)＝.

F′(x)，F(x)的值随x值的变化如下表：

x

(－∞，－1)

(－1，0)

(0，1)

(1，＋∞)

F′(x)

＋

－

＋

－

F(x)

↗

↘

↗

↘

故F(x)在(－∞，－1)和(0，1)上单调递增，在(－1，0)和(1，＋∞)上单调递减，在[－1，1]上F(x)的最小值F(x)min＝F(0)＝.

F(x)的最大值F(x)max＝F(1)＝F(－1)＝ln 2.

因此F(x1)＋F(x2)≥2F(x)min＝1，

而F(x3)≤F(x)max＝ln 2，

故F(x1)＋F(x2)>F(x3)．

(2)由题意可知y＝ln(x2＋1)－a与y＝x2－＋b的图像恰有四个交点．

由ln(x2＋1)－a＝x2－＋b，

则a＋b＝ln(x2＋1)－x2＋.

令F(x)＝ln(x2＋1)－x2＋，

由(1)可知F(x)极小值＝F(0)＝，F(x)极大值＝F(1)＝ln 2.又F(4)＝F(－4)<0