Question

已知向量α，β，γ满足|α|＝1，|α－β|＝|β|，(α－γ)·(β－γ)＝0.若对每一个确定的β，|γ|的最大值和最小值分别为m，n，则对任意β，m－n的最小值是(　　)

A.  B．1  C．2  D.

Answer

A

【解析】方法一，设α＝(1，0)，β＝，γ＝(x，y)，由(α－γ)·(β－γ)＝0，得(x－1，y)＝0，即x2－x＋＋y2－ty＝0，配方得.|γ|的几何意义是圆上的点到坐标原点的距离，其最大值为圆心到坐标原点的距离加圆的半径，最小值为圆心到坐标原点的距离减去圆的半径，最大值与最小值之差为圆的直径，故m－n＝2 ≥，当且仅当t＝0时等号成立，此时β＝.

方法二，将向量α，β，γ的起点放在点O，终点分别记作A，B，C.由|α－β|＝|β|可知点B在OA的垂直平分线上．根据(α－γ)·(β－γ)＝0知点C在以AB为直径的圆上，则m－n为圆的直径．又因为OB＝AB，故只要OB最小即得，结合图形，在点B为OA的中点时取得，即m－n的最小值为.