Question

已知函数f(x)＝x²－2(a＋2)x＋a²，g(x)＝－x²＋2(a－2)x－a²＋8.设 H₁(x)＝max{f(x)，g(x)}，H₂(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值)，记H₁(x)的最小值为A，H₂(x)的最大值为B，则A－B＝(　　)

A．a²－2a－16  B．a²＋2a－16  C．－16   D．16

Answer

C

【解析】不等式f(x)≥g(x)，即x2－2(a＋2)x＋a2≥－x2＋2(a－2)x－a2＋8，即x2－2ax＋a2－4≥0，解得x≤a－2或x≥a＋2.根据定义，H1(x)＝H2(x)＝当x≤a－2或x≥a＋2时，H1(x)＝f(x)，此时H1(x)min＝f(a＋2)＝－4a－4；当a－2≤x≤a＋2时，H1(x)＝g(x)，此时H1(x)min＝g(a＋2)＝－4a－4，即函数H1(x)min＝－4a－4.

当x≤a－2或x≥a＋2时，H2(x)＝g(x)，此时H2(x)max＝g(a－2)＝－4a＋12；当a－2≤x≤a＋2时，H2(x)＝f(x)，此时H2(x)max＝f(a－2)＝－4a＋12.综上所述，A＝－4a－4，B＝－4a＋12，所以A－B＝－16.