Question

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F₁，F₂在x轴上，离心率为.过F₁的直线交椭圆C于A，B两点，且△ABF₂的周长为8.过定点M(0，3)的直线l₁与椭圆C交于G，H两点(点G在点M，H之间)．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线l₁的斜率k>0，在x轴上是否存在点P(m，0)，使得以PG，PH为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由．

Answer

(1) ＝1(2)

【解析】(1)设椭圆的方程为＝1(a>b>0)，由离心率e＝＝，△ABF2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝8，得a＝2，c＝1，则b2＝a2－c2＝3.

所以椭圆C的方程为＝1.

(2)由题意可知，直线l1的方程为y＝kx＋3(k>0)．

由得(3＋4k2)x2＋24kx＋24＝0，①

Δ＝(24k)2－4×24×(3＋4k2)>0，解得k>.

设椭圆的弦GH的中点为N(x0，y0)，则“在x轴上是否存在点P(m，0)，使得以PG，PH为邻边的平行四边形为菱形”等价于“在x轴上是否存在点P(m，0)，使得PN⊥l1”．

设G(x1，y1)，H(x2，y2)，由韦达定理，得x1＋x2＝－，

则x0＝＝－，所以y0＝kx0＋3＝，

即N，kPN＝－.

从而－·k＝－1，

解得m＝－.

又因为m′(k)＝>0，

所以函数m＝－在定义域上单调递增，且mmin＝m＝－，即m∈.

故存在满足条件的点P(m，0)，m的取值范围为