Question

已知函数f(x)＝x³＋ax²＋bx(a，b∈R)．

(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间；

(2)若f(1)＝，且函数f(x)在上不存在极值点，求a的取值范围．

Answer

（1）当b≥1时，f(x)的增区间为(－∞，＋∞)；当b<1时，f(x)的增区间为(－∞，－1－)，(－1＋，＋∞)；减区间为(－1－，－1＋)．（2）(－∞，0]

【解析】(1)当a＝1时，f′(x)＝x2＋2x＋b.

①若Δ＝4－4b≤0，即b≥1时，f′(x)≥0，

所以f(x)为(－∞，＋∞)上为增函数，所以f(x)的增区间为(－∞，＋∞)；

②若Δ＝4－4b>0，即b<1时，f′(x)＝(x＋1＋)(x＋1－)，

所以f(x)在(－∞，－1－)，(－1＋，＋∞)上为增函数，f(x)在(－1－，－1＋)上为减函数．

所以f(x)的增区间为(－∞，－1－)，(－1＋，＋∞)，减区间为(－1－，－1＋)．

综上，当b≥1时，f(x)的增区间为(－∞，＋∞)；当b<1时，f(x)的增区间为(－∞，－1－)，(－1＋，＋∞)；减区间为(－1－，－1＋)．

(2)由f(1)＝，得b＝－a，

即f(x)＝x3＋ax2－ax，f′(x)＝x2＋2ax－a.

令f′(x)＝0，即x2＋2ax－a＝0，变形得(1－2x)a＝x2，

因为x∈，所以a＝.

令1－2x＝t，则t∈(0，1)，＝.

因为h(t)＝t＋－2在t∈(0，1)上单调递减，故h(t)∈(0，＋∞)．

由y＝f(x)在上不存在极值点，得a＝在上无解，所以，a∈(－∞，0]．

综上，a的取值范围为(－∞，0]