Question

已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos²x＋m在区间上的最大值为2.

(1)求常数m的值；

(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(A)＝1，sin B＝3sin C，△ABC的面积为，求边长a.

Answer

（1）m＝－1.（2）a＝

【解析】(1)f(x)＝2sin x·cos x＋2cos2x＋m＝2sin(2x＋)＋m＋1.

因为x∈，所以2x＋∈.

因为函数y＝sin t在区间上是增函数，在区间上是减函数，

所以当2x＋＝，即x＝时，函数f(x)在区间上取到最大值．此时，f(x)max＝f＝m＋3＝2，得m＝－1.

(2)因为f(A)＝1，所以2sin＝1，

即sin＝，解得A＝0(舍去)或A＝.

因为sin B＝3sin C，，所以b＝3c.①

因为△ABC的面积为，所以S△ABC＝bcsin A＝bcsin＝，即bc＝3.②

由①和②解得b＝3，c＝1.

因为a2＝b2＋c2－2bc·cos A＝32＋12－2×3×1×cos，

所以a＝