Question

数列{a_n}中，a₁＝3，a_n＋1＝a_n＋cn(c是常数，n＝1，2，3，…)，且a₁，a₂，a₃成公比不为1的等比数列．

(1)求c的值；

(2)求数列{a_n}的通项公式．

Answer

（1）c＝0或c＝3（2）an＝(n2－n＋2)

【解析】(1)a1＝3，a2＝3＋c，a3＝3＋3c，

∵a1，a2，a3成等比数列，∴(3＋c)2＝3(3＋3c)，

解得c＝0或c＝3.

当c＝0时，a1＝a2＝a3，不符合题意，舍去，故c＝3.

(2)当n≥2时，由a2－a1＝c，a3－a2＝2c，…，an－an－1＝(n－1)c，

则an－a1＝[1＋2＋…＋(n－1)]c＝c.

又∵a1＝3，c＝3，∴an＝3＋n(n－1)＝(n2－n＋2)(n＝2，3，…)．

当n＝1时，上式也成立，∴an＝(n2－n＋2)．