Question

如图所示，角A为钝角，且sin A＝，点P，Q分别是在角A的两边上不同于点A的动点．

(1)若AP＝5，PQ＝3，求AQ的长；

(2)若∠APQ＝α，∠AQP＝β，且cos α＝，求sin(2α＋β)的值．

Answer

（1）2.（2）

【解析】∵角A是钝角，sin A＝，∴cos A＝－.

(1)在△APQ中，由余弦定理得PQ2＝AP2＋AQ2－2AP·AQcos A，所以AQ2＋8AQ－20＝0，

解得AQ＝2或－10(舍去负值)，所以AQ＝2.

(2)由cos α＝，得sin α＝，

在△APQ中，α＋β＋A＝π，

得sin(α＋β)＝sin(π－A)＝sin A＝，cos(α＋β)＝－cos A＝，

∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)＝×＋×＝.