Question

)如图所示，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝，平面PAC⊥平面ABC，PD⊥AC于点D，AD＝1，CD＝3，PD＝.

(1)证明：△PBC为直角三角形；

(2)求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．

Answer

（1）见解析（2）

【解析】(1)证明：取AC中点E，联结BE，以点E为坐标原点，以EB，EC所在的直线分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系E－xyz，则B(，0，0)，C(0，2，0)，P(0，－1，)．

于是＝(－，－1，)，＝(－，2，0)．

因为·＝(－，－1，)·(－，2，0)＝0，所以⊥，

所以BP⊥BC，所以△PBC为直角三角形．

(2)由(1)可得，A(0，－2，0)．

于是＝(0，1，)，＝(，1，－)，＝(0，3，－)．

设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，

则即

取y＝1，则z＝，x＝.

所以平面PBC的一个法向量为n＝(，1，)．

设直线AP与平面PBC所成的角为θ，

则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，

所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为.