Question

如图所示，在多面体ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，BA⊥AC，ED⊥DG，EF∥DG，且AC＝1，AB＝ED＝EF＝2，AD＝DG＝4.

(1)求证：BE⊥平面DEFG；

(2)求证：BF∥平面ACGD；

(3)求二面角F－BC－A的余弦值．

Answer

（1）见解析（2）见解析（3）

【解析】(1)证明：∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB＝AB，平面DEFG∩平面ADEB＝DE，∴AB∥DE.

又∵AB＝DE，∴四边形ADEB为平行四边形，∴BE∥AD.

∵AD⊥平面DEFG，∴BE⊥平面DEFG.

(2)证明：设DG的中点为M，联结AM，MF，则DM＝DG＝2，

∵EF＝2，EF∥DG，∴四边形DEFM是平行四边形，

∴MF＝DE且MF∥DE，由(1)知，四边形ADEB为平行四边形，∴AB＝DE且AB∥DE，∴AB＝MF且AB∥MF，

∴四边形ABFM是平行四边形，

即BF∥AM，又BF⊄平面ACGD，AM⊂平面ACGD，故BF∥平面ACGD.

(3)由已知，AD，DE，DG两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，4)，B(2，0，4)，C(0，1，4)，F(2，2，0)，

故＝(0，2，－4)，＝(－2，1，0)．

设平面FBC的法向量为n1＝(x，y，z)，则

令z＝1，则n1＝(1，2，1)，

而平面ABC的法向量可为n2＝＝(0，0，4)，

则cos〈n1，n2〉＝，

由图形可知，二面角F－BC－A的余弦值为－