Question

已知等比数列{a_n}的所有项均为正数，首项a₁＝1，且a₄，3a₃，a₅成等差数列．

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)数列{a_n＋1－λa_n}的前n项和为S_n，若S_n＝2ⁿ－1(n∈N^*)，求实数λ的值．

Answer

（1）an＝2n－1.（2）λ＝1

【解析】(1)设数列{an}的公比为q，则由条件得q3，3q2，q4成等差数列，所以6q2＝q3＋q4，q≠0，此方程即q2＋q－6＝0，解得q＝－3(舍去)或q＝2，所以数列{an}的通项公式是an＝2n－1.

(2)an＋1－λan＝2n－λ·2n－1＝(2－λ)·2n－1，显然λ＝2不合题意，λ≠2时，数列{an＋1－λan}的前n项和为＝(2－λ)·(2n－1)，与已知比较可得λ＝1.