Question

数列{a_n}的前n项和为S_n＝2a_n－2，数列{b_n}是首项为a₁，公差不为零的等差数列，且b₁，b₃，b₁₁成等比数列．

(1)求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；

(2)求证： <5.

Answer

（1）bn＝3n－1（2）见解析

【解析】(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－2)－(2an－1－2)＝2an－2an－1，得an＝2an－1.

又由a1＝S1＝2a1－2，得a1＝2，所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以数列{an}的通项公式为an＝2n.

b1＝a1＝2，设公差为d，则由b1，b3，b11成等比数列，得(2＋2d)2＝2×(2＋10d)，

解得d＝0(舍去)或d＝3，

所以数列{bn}的通项公式为bn＝3n－1.，

(2)证明：令Tn＝＝，①

2Tn＝2＋，②

②－①得

Tn＝2＋，

所以Tn＝，

又 >0，故Tn<5.