Question

已知函数f(x)＝|x－a|.

(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；

(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

(1) a＝2 (2) (－∞，5]

【解析】(1)由f(x)≤3，得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3.

又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，

所以解得a＝2.

(2)方法一：当a＝2时，f(x)＝|x－2|，

设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|.

由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5，

当且仅当－3≤x≤2时等号成立，得g(x)的最小值为5.

从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，实数m的取值范围为(－∞，5]．

方法二：当a＝2时，f(x)＝|x－2|，设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|.

于是g(x)＝|x－2|＋|x＋3|＝

所以当x＜－3时，g(x)＞5；

当－3≤x≤2时，g(x)＝5；

当x＞2时，g(x)＞5.

综上可得，g(x)的最小值为5.

从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，实数m的取值范围为(－∞，5]．