Question

已知函数f(x)＝＋ln x.

(1)当a＝时，求f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；

(2)若函数g(x)＝f(x)－x在[1，e]上为增函数，求正实数a的取值范围．

Answer

(1) 最大值是0，最小值是ln 2－1 (2)

【解析】(1)当a＝时，f(x)＝＋ln x，

f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝2.

∴当x∈[1,2)时，f′(x)＜0，故f(x)在[1,2)上单调递减；

当x∈(2，e]时，f′(x)＞0，故f(x)在(2，e]上单调递增．

∴f(x)在区间[1，e]上有唯一的极小值点，

故f(x)min＝f(x)极小值＝f(2)＝ln 2－1.

又∵f(1)＝0，f(e)＝＜0.

∴f(x)在区间[1，e]上的最大值f(x)max＝f(1)＝0.

综上可知，函数f(x)在[1，e]上的最大值是0，最小值是ln 2－1.

(2)∵g(x)＝f(x)－x＝＋ln x－x，

∴g′(x)＝ (a＞0)，

设φ(x)＝－ax2＋4ax－4，由题意知，只需φ(x)≥0在[1，e]上恒成立即可满足题意．

∵a＞0，函数φ(x)的图象的对称轴为x＝2，

∴只需φ(1)＝3a－4≥0，即a≥即可．

故正实数a的取值范围为.