Question

已知函数f(x)＝ln x＋ax(a∈R)．

(1)求f(x)的单调区间；

(2)设g(x)＝x²－4x＋2，若对任意x₁∈(0，＋∞)，均存在x₂∈[0,1]，使得f(x₁)＜g(x₂)，求a的取值范围．

Answer

(1) f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为 (2)

【解析】(1)f′(x)＝a＋＝ (x＞0)．

①当a≥0时，由于x＞0，故ax＋1＞0，

f′(x)＞0，

所以f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．

②当a＜0时，由f′(x)＝0，得x＝－.

在区间上，f′(x)＞0，在区间上，f′(x)＜0，所以函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.

(2)由题意得f(x)max＜g(x)max，而g(x)max＝2，

由(1)知，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，值域为R，故不符合题意．

当a＜0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，

故f(x)的极大值即为最大值，f＝－1＋ln＝－1－ln(－a)，所以2＞－1－ln(－a)，解得a＜－.

故a的取值范围为.