Question

已知函数f(x)＝m(x－1)²－2x＋3＋ln x，m≥1.

(1)当m＝时，求函数f(x)在区间[1,3]上的极小值；

(2)求证：函数f(x)存在单调递减区间[a，b]；

(3)是否存在实数m，使曲线C：y＝f(x)在点P(1,1)处的切线l与曲线C有且只有一个公共点？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

Answer

(1) 极小值为f(2)＝ln 2－ (2)见解析 (3) 存在实数m＝1使得曲线C：y＝f(x)在点P(1,1)处的切线l与曲线C有且只有一个公共点

【解析】(1)f′(x)＝m(x－1)－2＋ (x＞0)．

当m＝时，f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x1＝2，x2＝.

f (x)，f′(x)在x∈(0，＋∞)上的变化情况如下表：

x

2

(2，＋∞)

f′(x)

＋

0

－

0

＋

f(x)

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增

所以当x＝2时，函数f(x)在x∈[1,3]上取到极小值，且极小值为f(2)＝ln 2－.

(2)证明：令f′(x)＝0，得mx2－(m＋2)x＋1＝0.(*)

因为Δ＝ (m＋2)2－4m＝m2＋4＞0，所以方程(*)存在两个不等实根，记为a，b(a＜b)．

因为m≥1，所以，

所以a＞0，b＞0，即方程(*)有两个不等的正根，因此f′(x)＜0的解为(a，b)．

故函数f(x)存在单调递减区间[a，b]．

(3)因为f′(1)＝－1，所以曲线C：y＝f(x)在点P(1,1)处的切线l的方程为y＝－x＋2.若切线l与曲线C有且只有一个公共点，则方程m(x－1)2－2x＋3＋ln x＝－x＋2有且只有一个实根．

显然x＝1是该方程的一个根．

令g(x)＝m(x－1)2－x＋1＋ln x，则g′(x)＝m(x－1)－1＋＝.

当m＝1时，有g′(x)≥0恒成立，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以x＝1是方程的唯一解，m＝1符合题意．

当m＞1时，由g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝，则x2∈(0,1)，易得g (x)在x1处取到极小值，在x2处取到极大值．

所以g(x2)＞g(x1)＝0，又当x趋近0时，g(x)趋近－∞，所以函数g(x)在内也有一个解，m＞1不符合题意．

综上，存在实数m＝1使得曲线C：y＝f(x)在点P(1,1)处的切线l与曲线C有且只有一个公共点．