Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos²＋ccos²＝b.

(1)求证：a，b，c成等差数列；

(2)若∠B＝60°，b＝4，求△ABC的面积．

Answer

（1）见解析（2）4

【解析】(1)acos2＋ccos2＝a·＋c·＝b，

即a(1＋cos C)＋c(1＋cos A)＝3b.由正弦定理得：

sin A＋sin Acos C＋sin C＋cos Asin C＝3sin B，

即sin A＋sin C＋sin(A＋C)＝3sin B，∴sin A＋sin C＝2sin B.

由正弦定理得，a＋c＝2b，故a，b，c成等差数列．

(2)由∠B＝60°，b＝4及余弦定理得：42＝a2＋c2－2accos 60°，

∴(a＋c)2－3ac＝16，

又由(1)知a＋c＝2b，代入上式得4b2－3ac＝16，解得ac＝16，

∴△ABC的面积S＝acsin B＝acsin 60°＝4.