Question

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：

①sin²13°＋cos²17°－sin 13°cos 17°；

②sin²15°＋cos²15°－sin 15°cos 15°；

③sin²18°＋cos²12°－sin 18°cos 12°；

④sin²(－18°)＋cos²48°－sin(－18°)cos 48°；

⑤sin²(－25°)＋cos²55°－sin(－25°)cos 55°.

(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

Answer

（1）（2）见解析

【解析】方法一：(1)选择②式，计算如下：

sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－ sin 30°＝1－ ＝.

(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝ .

证明如下：

sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)

＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)

＝sin2α＋cos2α＋ sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.

方法二：(1)同方法一．

(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝ .

证明如下：

sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)

＝ －sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)

＝ － cos 2α＋ ＋ (cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－ sin αcos α－ sin2α

＝ － cos 2α＋＋ cos 2α＋ sin 2α－ sin 2α－ (1－cos 2α)

＝1－cos 2α－ ＋ cos 2α＝