Question

根据如图所示的程序框图，将输出的x，y值依次分别记为x₁，x₂，…，x_k，…；y₁，y₂，…，y_k，….

(1)分别求数列{x_k}和{y_k}的通项公式；

(2)令z_k＝x_ky_k，求数列{z_k}的前k项和T_k，其中k∈N^*，k≤2 007.

Answer

（1）yk＝3k－1(k∈N*，k≤2 007)．（2）(k－1)·3k＋1＋3＋k2

【解析】(1)由框图，知数列{xk}中，x1＝1，xk＋1＝xk＋2，

∴xk＝1＋2(k－1)＝2k－1(k∈N*，k≤2 007)

由框图，知数列{yk}中，yk＋1＝3yk＋2，

∴yk＋1＋1＝3(yk＋1)∴＝3，y1＋1＝3.

∴数列{yk＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列，

∴yk＋1＝3·3k－1＝3k，∴yk＝3k－1(k∈N*，k≤2 007)．

(2)Tk＝x1y1＋x2y2＋…＋xkyk＝1×(3－1)＋3×(32－1)＋…＋(2k－1)(3k－1)＝1×3＋3×32＋…＋(2k－1)·3k－[1＋3＋…＋(2k－1)]

记Sk＝1×3＋3×32＋…＋(2k－1)·3k ①

则3Sk＝1×32＋3×33＋…＋(2k－1)·3k＋1 ②

①－②，得－2Sk＝3＋2·32＋2·33＋…＋2·3k－(2k－1)·3k＋1

＝2(3＋32＋…＋3k)－3－(2k－1)·3k＋1＝2×－3－(2k－1)·3k＋1

＝3k＋1－6－(2k－1)·3k＋1＝2(1－k)·3k＋1－6

∴Sk＝(k－1)·3k＋1＋3∴Tk＝(k－1)·3k＋1＋3＋k2