Question

已知等比数列{a_n}的所有项均为正数，首项a₁＝1，且a_4,3a₃，a₅成等差数列．

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)数列{a_n＋1－λa_n}的前n项和为S_n，若S_n＝2ⁿ－1(n∈N^*)，求实数λ的值．

Answer

（1）an＝2n－1(n∈N*)．（2）λ＝1

【解析】(1)设数列{an}的公比为q，由条件可知q3,3q2，q4成等差数列，∴6q2＝q3＋q4，∴6＝q＋q2，

解得q＝－3或q＝2，∵q＞0，∴q＝2，

∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1(n∈N*)．

(2)记bn＝an＋1－λan，则bn＝2n－λ·2n－1＝(2－λ)2n－1，

若λ＝2，则bn＝0，Sn＝0，不符合条件；

若λ≠2，则＝2，数列{bn}为等比数列，首项为2－λ，公比为2，

此时Sn＝ (1－2n)＝(2－λ)(2n－1)，

∵Sn＝2n－1(n∈N*)，∴λ＝1.