Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知AD＝4，BD＝4，AB＝2CD＝8.

(1)设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；

(2)当M点位于线段PC什么位置时，PA∥平面MBD?

(3)求四棱锥P－ABCD的体积．

Answer

（1）见解析（2）M点位于线段PC靠近C点的三等分点处时（3）24.

【解析】(1)证明：在△ABD中，

∵AD＝4，BD＝4，AB＝8，∴AD2＋BD2＝AB2.

∴AD⊥BD.

又平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，

∴BD⊥平面PAD.

又BD⊂平面MBD，∴平面MBD⊥平面PAD.

(2)当M点位于线段PC靠近C点的三等分点处时，

PA∥平面MBD.

证明如下：连接AC，交BD于点N，连接MN.

∵AB∥DC，∴四边形ABCD是梯形．

∵AB＝2CD，

∴CN∶NA＝1∶2.

又∵CM∶MP＝1∶2，∴CN∶NA＝CM∶MP，∴PA∥MN.

∵MN⊂平面MBD，PA⊄平面MBD，∴PA∥平面MBD.

(3)过点P作PO⊥AD交AD于O，

∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD.

即PO为四棱锥P－ABCD的高．

又△PAD是边长为4的等边三角形，∴PO＝×4＝2.

在Rt△ADB中，斜边AB上的高为＝2，此即为梯形ABCD的高．

梯形ABCD的面积SABCD＝×2＝12.

四棱锥P－ABCD的体积VP－ABCD＝×12×2＝24.