Question

如图甲，⊙O的直径AB＝2，圆上两点C、D在直径AB的两侧，且∠CAB＝，∠DAB＝.沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直(如图乙)，F为BC的中点，E为AO的中点．根据图乙解答下列各题：

(1)求三棱锥C－BOD的体积；

(2)求证：CB⊥DE；

(3)在上是否存在一点G，使得FG∥平面ACD？若存在，试确定点G的位置；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）（2）见解析（3）G为的中点

【解析】(1)∵C为圆周上一点，且AB为直径，∴∠C＝，

∵∠CAB＝，∴AC＝BC，

∵O为AB的中点，∴CO⊥AB，

∵AB＝2，∴CO＝1.

∵两个半圆所在平面ACB与平面ADB互相垂直且其交线为AB，

∴CO⊥平面ABD，∴CO⊥平面BOD.

∴CO就是点C到平面BOD的距离，

S△BOD＝S△ABD＝××1×＝，

∴VC－BOD＝S△BOD·CO＝××1＝.

(2)证明：在△AOD中，∵∠OAD＝，OA＝OD，

∴△AOD为正三角形，

又∵E为OA的中点，∴DE⊥AO，

∵两个半圆所在平面ACB与平面ADB互相垂直且其交线为AB，

∴DE⊥平面ABC.

又CB⊂平面ABC，∴CB⊥DE.

(3)存在满足题意的点G，G为的中点．证明如下：

连接OG，OF，FG，

易知OG⊥BD，

∵AB为⊙O的直径，

∴AD⊥BD，

∴OG∥AD，

∵OG⊄平面ACD，AD⊂平面ACD，

∴OG∥平面ACD.

在△ABC中，O，F分别为AB，BC的中点，

∴OF∥AC，

∴OF∥平面ACD，

∵OG∩OF＝O，

∴平面OFG∥平面ACD.

又FG⊂平面OFG，∴FG∥平面ACD.