Question

如图，F₁、F₂分别是椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF₂与椭圆C的另一个交点，∠F₁AF₂＝60°.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)已知△AF₁B的面积为40，求a，b的值．

Answer

（1）e＝.（2）a＝10，b＝5

【解析】(1)由题意可知，△AF1F2为等边三角形，a＝2c，所以e＝.

(2)方法一：a2＝4c2，b2＝3c2，直线AB的方程为y＝－ (x－c)，

将其代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，得B，

所以|AB|＝..

由S△AF1B＝ |AF1|·|AB|·sin∠F1AB＝a·c·＝ a2＝40，

解得a＝10，b＝5.

方法二：设|AB|＝t.因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a，

由椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t，

再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos 60°可得，t＝a，

由S△AF1B＝aa＝a2＝40知，a＝10，b＝5.