Question

椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F₁、F₂，离心率为，过F₁且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.

(1)求椭圆C的方程；

(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点．设直线PF₁，PF₂的斜率分别为k₁，k₂.若k≠0，试证明＋为定值，并求出这个定值．

Answer

（1）＋y2＝1.（2）＋为定值，这个定值为－8

【解析】(1)由于c2＝a2－b2，将x＝－c代入椭圆方程＝1，得y＝±.

由题意知＝1，即a＝2b2.

又e＝＝，所以a＝2，b＝1.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)设P(x0，y0)(y0≠0)，又F1(－，0)，F2(，0)，

知，

直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)．联立得

整理得(1＋4k2)x2＋8(ky0－k2x0)x＋4(－2kx0y0＋k2－1)＝0.

由题意Δ＝0，即(4－)k2＋2x0y0k＋1－＝0.

又＋＝1，

所以16k2＋8x0y0k＋＝0，故k＝－.

所以＋＝＝·＝－8，

因此＋为定值，这个定值为－8