Question

已知椭圆E：＝1(a>b>0)的右焦点为F，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于A，B两点，且|AF|＋|BF|＝2，|AB|的最小值为2.

(1)求椭圆E的方程；

(2)若圆x²＋y²＝的切线L与椭圆E相交于P，Q两点，当P，Q两点横坐标不相等时，OP(O为坐标原点)与OQ是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．

Answer

（1）＋y2＝1（2）垂直

【解析】(1)设A(x0，y0)，则B(－x0，－y0)，F(c,0)(c2＝a2－b2)

|AF|＋|BF|＝2a＝2，∴a＝.

又|AB|＝＝2 ，0≤≤a2，

∴|AB|min＝2b＝2，∴b＝1，∴椭圆E的方程为＋y2＝1.

(2)由题设条件可知直线L的斜率存在，设直线L的方程为y＝kx＋m.

∵直线L与圆x2＋y2＝相切，∴，

∴m2＝ (k2＋1)．

将y＝kx＋m代入＋y2＝1中得，

(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，Δ＝8(2k2＋1－m2)＞0.

令P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1≠x2，

则x1＋x2＝①，x1x2＝②，

y1y2＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝③.

∴·＝x1x2＋y1y2＝＋＝＝0，

∴⊥，即OP与OQ垂直