Question

若对于定义在R上的函数f(x)，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f(x＋λ)＋λf(x)＝0对任意实数都成立，则称f(x)是一个“λ伴随函数”．下列关于“λ伴随函数”的结论：①f(x)＝0不是常数函数中唯一一个“λ伴随函数”；②f(x)＝x不是“λ伴随函数”；③f(x)＝x²是“λ伴随函数”；④“伴随函数”至少有一个零点．其中正确的结论个数是(  )

A．1  B．2  C．3  D．4

Answer

B

【解析】由题意得，①正确，如f(x)＝c≠0，取λ＝－1，则f(x－1)－f(x)＝c－c＝0，即f(x)＝c≠0是一个“λ伴随函数”．②不正确，若f(x)＝x是一个“λ伴随函数”，则f(x＋λ)＋λx＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾．③不正确，若f(x)＝x2是一个“λ伴随函数”，则(x＋λ)2＋λx2＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾．④正确，若f(x)是“伴随函数”，则f ＋f(x)＝0，取x＝0，则f ＋f(0)＝0，若f(0)、f 任意一个为0，则函数f(x)有零点；若f(0)、f 均不为0，则f(0)、f 异号，由零点存在性定理知，在区间内存在零点．所以有两个结论正确．故选B.