Question

直线ax＋by＝1与圆x²＋y²＝1相交于A，B两点(其中a，b是实数)，且△AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a，b)与点(0,1)之间距离的最小值为________．

Answer

－1

【解析】根据题意画出图形，如图所示，

过点O作OC⊥AB于C，因为△AOB为等腰直角三角形，所以C为弦AB的中点，又|OA|＝|OB|＝1，根据勾股定理得|AB|＝，∴|OC|＝|AB|＝.

∴圆心到直线的距离为＝，即2a2＋b2＝2，即a2＝－b2＋1≥0.

∴－≤b≤.则点P(a，b)与点(0,1)之间距离d＝＝＝.

设f(b)＝b2－2b＋2＝(b－2)2，此函数为对称轴为x＝2的开口向上的抛物线，∴当－≤b≤<2时，函数为减函数．

∵f()＝3－2，∴d的最小值为＝＝－1