Question

在平面直角坐标系xOy中，过点A(－2，－1)椭圆C∶＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，短轴端点为B₁、B₂，＝2b².

(1)求a、b的值；

(2)过点A的直线l与椭圆C的另一交点为Q，与y轴的交点为R.过原点O且平行于l的直线与椭圆的一个交点为P.若AQ·AR＝3OP²，求直线l的方程．

Answer

（1）a＝2，b＝（2）当k＝1时，直线l的方程为x－y＋1＝0，当k＝－2时，直线l的方程为2x＋y＋5＝0.

【解析】(1)因为F(－c,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)，所以＝(c，－b)，＝(c，b)．

因为＝2b2，

所以c2－b2＝2b2.①

因为椭圆C过A(－2，－1)，代入得，＝1.②

由①②解得a2＝8，b2＝2.

所以a＝2，b＝.

(2)由题意，设直线l的方程为y＋1＝k(x＋2)．

由得(x＋2)[(4k2＋1)(x＋2)－(8k＋4)]＝0.

因为x＋2≠0，所以x＋2＝，即xQ＋2＝.

由题意，直线OP的方程为y＝kx.

由得(1＋4k2)x2＝8.则＝，

因为AQ·AR＝3OP2.所以|xQ－(－2)|×|0－(－2)|＝3.

即×2＝3×.

解得k＝1，或k＝－2.

当k＝1时，直线l的方程为x－y＋1＝0，当k＝－2时，直线l的方程为2x＋y＋5＝0