Question

已知a，b，c均为正数，证明：a²＋b²＋c²＋²≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．

Answer

见解析

【解析】法一：因为a、b、c均为正数，由平均值不等式得

a2＋b2＋c2≥3(abc)，①

≥3(abc)－，②

所以2≥9(abc)－.

故a2＋b2＋c2＋2≥3(abc)＋9(abc)－.

又3(abc)＋9(abc)－≥2＝6 ，③

所以原不等式成立．

当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．

当且仅当3(abc)＝9(abc)－时，③式等号成立．

即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立．

法二：因为a，b，c均为正数，由基本不等式得

a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，

所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.①

同理≥，②

故a2＋b2＋c2＋2≥ab＋bc＋ac＋3＋3＋3≥6.③

所以原不等式成立，

当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．

即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立．