Question

如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，D，E分别是AB，BB₁的中点，AA₁＝AC＝CB＝AB.

(1)证明：BC₁∥平面A₁CD；

(2)求二面角D－A₁C－E的正弦值．

Answer

（1）见解析（2）

【解析】(1)连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．

又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.

(2)由AC＝CB＝AB得，AC⊥BC.以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.设CA＝2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，

＝(1,1,0)，＝(0,2,1)，＝(2,0,2)．

设n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，

则即可取n＝(1，－1，－1)．

同理，设m＝(x2，y2，z2)是平面A1CE的法向量，

则即可取m＝(2,1，－2)．

从而cos〈n，m〉＝＝，故sin〈n，m〉＝

即二面角D－A1C－E的正弦值为