Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中点．

(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；

(2)若二面角P－AC－E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．

Answer

（1）见解析（2）

【解析】(1)∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC.∵AB＝2，AD＝CD＝1，∴AC＝BC＝.

∴AC2＋BC2＝AB2.∴AC⊥BC.

又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC.

∵AC⊂平面EAC，

∴平面EAC⊥平面PBC.

(2)如图，以点C为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，

则C(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1，－1,0)，设P(0,0，a)(a>0)，

则E，＝(1,1,0)，＝(0,0，a)，＝.取m＝(1，－1,0)，则m·＝m·＝0，m为面PAC的法向量．设n＝(x，y，z)为面EAC的法向量，则n·＝n·＝0，即取x＝a，y＝－a，z＝－2，则n＝(a，－a，－2)，依题意，|cos〈m，n〉|＝＝＝，则a＝2.于是n＝(2，－2，－2)，＝(1,1，－2)．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为