Question

在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，且PA⊥平面ABCD.

(1)求证：PC⊥BD；

(2)过直线BD且垂直于直线PC的平面交PC于点E，且三棱锥E－BCD的体积取到最大值．

①求此时四棱锥E－ABCD的高；

②求二面角A－DE－B的正弦值的大小．

Answer

（1）见解析（2），

【解析】(1)连接AC，因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC.因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.

又AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC.

又PC⊂平面PAC，所以PC⊥BD.

(2)解 ①设PA＝x，三棱锥E－BCD的底面积为定值，在△PBC中，易知PB＝，PC＝，

又BC＝1，故△PBC直角三角形．又BE⊥PC，得EC＝，可求得该三棱锥的高h＝＝.

当且仅当x＝，即x＝时，三棱锥E－BCD的体积取到最大值，所以h＝.

此时四棱锥E－ABCD的高为.

②以点A为原点，AB，AD，AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，P(0,0，)，易求得CE＝CP.

所以＝＋＝，＝(0,1,0)．

设平面ADE的法向量n1＝(x，y，z)，则

即，令x＝，则n1＝(，0，－3)，

同理可得平面BDE的法向量n2＝＝(－1，－1，)，所以cos〈n1，n2〉＝＝－.所以sin〈n1，n2〉＝.所以二面角A－DE－B的正弦值的大小为.