Question

如图，四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，侧棱A₁A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA₁＝AB＝2，E为棱AA₁的中点．

(1)证明B₁C₁⊥CE；

(2)求二面角B₁－CE－C₁的正弦值；

(3)设点M在线段C₁E上，且直线AM与平面ADD₁A₁所成角的正弦值为，求线段AM的长．

Answer

（1）见解析（2）（3）AM＝.

【解析】(1)证明：易得＝(1,0，－1)，＝(－1,1，－1)，于是·＝0，所以B1C1⊥CE.

(2) ＝(1，－2，－1)．

设平面B1CE的法向量m＝(x，y，z)，

则即消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一个法向量为m＝(－3，－2,1)．

由(1)，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，故＝(1,0，－1)为平面CEC1的一个法向量．

于是cos〈m，〉＝＝＝－，从而sin〈m，〉＝，所以二面角B1－CE－C1的正弦值为.

(3) ＝(0,1,0)，＝(1,1,1)，设＝λ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有＝＋＝(λ，λ＋1，λ)．可取＝(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量．

设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则

sin θ＝|cos〈，〉|＝＝，

于是＝，解得λ＝，所以AM＝