Question

已知(1＋x)ⁿ＝a₀＋a₁(x－1)＋a₂(x－1)²＋…＋a_n(x－1)ⁿ(n∈N^*)．

(1)求a₀及S_n＝a₁＋a₂＋a₃＋…＋a_n；

(2)试比较S_n与(n－2)2ⁿ＋2n²的大小，并说明理由．

Answer

（1）a0＝2n Sn＝3n－2n.（2）当n＝1时，Sn＞(n－2)2n＋2n2；当n＝2,3时，Sn＜(n－2)2n＋2n2；当n≥4，n∈N*时，Sn＞(n－2)2n＋2n2.

【解析】(1)取x＝1，则a0＝2n；

取x＝2，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n，

所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－2n.

(2)要比较Sn与(n－2)2n＋2n2的大小，

即比较：3n与(n－1)2n＋2n2的大小．

当n＝1时，3n＞(n－1)2n＋2n2；

当n＝2,3时，3n＜(n－1)2n＋2n2；

当n＝4,5时，3n＞(n－1)2n＋2n2.

猜想：当n≥4时，3n＞(n－1)2n＋2n2，

下面用数学归纳法证明：

由上述过程可知，n＝4时结论成立．

假设当n＝k(k≥4)时结论成立，即3k＞(k－1)2k＋2k2，

两边同乘以3，得3k＋1＞3[(k－1)2k＋2k2]＝k2k＋1＋2(k＋1)2＋[(k－3)2k＋4k2－4k－2]．

而(k－3)2k＋4k2－4k－2＝(k－3)2k＋4(k2－k－2)＋6＝(k－3)2k＋4(k－2)(k＋1)＋6＞0.

所以3k＋1＞[(k＋1)－1]2k＋1＋2(k＋1)2.

即n＝k＋1时结论也成立．

所以当n≥4时，3n＞(n－1)2n＋2n2成立．

综上得，

当n＝1时，Sn＞(n－2)2n＋2n2；当n＝2,3时，Sn＜(n－2)2n＋2n2；

当n≥4，n∈N*时，Sn＞(n－2)2n＋2n2.