Question

已知多项式f(n)＝n⁵＋n⁴＋n³－n.

(1)求f(－1)及f(2)的值；

(2)试探求对一切整数n，f(n)是否一定是整数？并证明你的结论．

Answer

（1）0，17（2）见解析

【解析】(1)f(－1)＝0，f(2)＝17

(2)先用数学归纳法证明，对一切正整数n，f(n)是整数．

①当n＝1时，f(1)＝1，结论成立．

②假设当n＝k(k≥1，k∈N)时，结论成立，即f(k)＝k5＋k4＋k3－k是整数，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝(k＋1)5＋(k＋1)4＋(k＋1)3－(k＋1)

＝＋

＋－(k＋1)＝f(k)＋k4＋4k3＋6k2＋4k＋1.

根据假设f(k)是整数，而k4＋4k3＋6k2＋4k＋1显然是整数．

∴f(k＋1)是整数，从而当n＝k＋1时，结论也成立．

由①、②可知对一切正整数n，f(n)是整数．

(Ⅰ)当n＝0时，f(0)＝0是整数

(Ⅱ)当n为负整数时，令n＝－m，则m是正整数，由(Ⅰ)知f(m)是整数，

所以f(n)＝f(－m)＝(－m)5＋(－m)4＋(－m)3－(－m)

＝－m5＋m4－m3＋m＝－f(m)＋m4是整数．

综上，对一切整数n，f(n)一定是整数．