Question

如图，P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)，…，P_n(x_n，y_n)(0＜y₁＜y₂＜…＜y_n)是曲线C：y²＝3x(y≥0)上的n个点，点A_i(a_i,0)(i＝1,2,3，…，n)在x轴的正半轴上，且△A_i－1A_iP_i是正三角形(A₀是坐标原点)．

(1)写出a₁，a₂，a₃；

(2)求出点A_n(a_n,0)(n∈N^*)的横坐标a_n关于n的表达式．

Answer

（1）a1＝2，a2＝6，a3＝12（2）an＝n(n＋1)(n∈N*)

【解析】(1)a1＝2，a2＝6，a3＝12；

(2)依题意，得xn＝，yn＝，由此及＝3xn得 2＝(an－1＋an)，即(an－an－1)2＝2(an－1＋an)．

由(1)可猜想：an＝n(n＋1)(n∈N*)．

下面用数学归纳法予以证明：

(1)当n＝1时，命题显然成立；

(2)假定当n＝k时命题成立，即有ak＝k(k＋1)，

则当n＝k＋1时，由归纳假设及(ak＋1－ak)2＝2(ak＋ak＋1)得[ak＋1－k(k＋1)]2＝2[k(k＋1)＋ak＋1]，

即(ak＋1)2－2(k2＋k＋1)ak＋1＋[k(k－1)]·[(k＋1)(k＋2)]＝0，

解之得ak＋1＝(k＋1)(k＋2)(ak＋1＝k(k－1)＜ak不合题意，舍去)，

即当n＝k＋1时，命题也成立．所以an＝n(n＋1)(n∈N*)．