Question

对于定义域为A的函数f(x)，如果任意的x₁，x₂∈A，当x₁＜x₂时，都有f(x₁)＜f(x₂)，则称函数f(x)是A上的严格增函数；函数f(k)是定义在N^*上，函数值也在N^*中的严格增函数，并且满足条件f(f(k))＝3k.

(1)证明：f(3k)＝3f(k)；

(2)求f(3^k－1)(k∈N^*)的值；

(3)是否存在p个连续的自然数，使得它们的函数值依次也是连续的自然数；若存在，找出所有的p值，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）见解析（2）2×3k－1(k∈N*)（3）存在p＝3k－1＋1

【解析】(1)证明：对k∈N*，f(f(k))＝3k，∴f[f(f(k))]＝f(3k)①

由已知f(f(k))＝3k，∴f[f(f(k))]＝3f(k)，②

由①、②∴f(3k)＝3f(k)

(2)若f(1)＝1，由已知f(f(k))＝3k得f(1)＝3，矛盾；

设f(1)＝a＞1，∴f(f(1))＝f(a)＝3，③

由f(k)严格递增，即1＜a⇒f(1)＜f(a)＝3，

∴∴f(1)＝2，

由③f(f(1))＝f(a)＝3，故f(f(1))＝f(2)＝3.

∴f(1)＝2，f(2)＝3.

f(3)＝3f(1)＝6，f(6)＝f(3·2)＝3f(2)＝9，

f(9)＝3f(3)＝18，f(18)＝3f(6)＝27，

f(27)＝3f(9)＝54，f(54)＝3f(18)＝81.

依此类推归纳猜出：f(3k－1)＝2×3k－1(k∈N*)．

下面用数学归纳法证明：

(1)当k＝1时，显然成立；

(2)假设当k＝l(l≥1)时成立，即f(3l－1)＝2×3l－1，

那么当k＝l＋1时，f(3l)＝f(3×3l－1)＝3f(3l－1)＝3×2×3l－1＝2·3l.猜想成立，由(1)、(2)所证可知，对k∈N*f(3k－1)＝2×3k－1成立．

(3)存在p＝3k－1＋1，当p个连续自然数从3k－1→2×3k－1时，函数值正好也是p个连续自然数从f(3k－1)＝2×3k－1→f(2×3k－1)＝3k.