Question

如图，在直三棱柱ABC ­A₁B₁C₁中，AC＝4，CB＝2，AA₁＝2，∠ACB＝60°，E、F分别是A₁C₁，BC的中点．

(1)证明：平面AEB⊥平面BB₁C₁C；

(2)证明：C₁F∥平面ABE；

(3)设P是BE的中点，求三棱锥P ­B₁C₁F的体积．

Answer

(1) (2)见解析 (3)

【解析】

(1)证明 在△ABC中，∵AC＝2BC＝4，∠ACB＝60°，由余弦定理得：

∴AB＝2，∴AB2＋BC2＝AC2，

∴AB⊥BC，

由已知AB⊥BB1，又BB1∩BC＝B，∴AB⊥面BB1C1C，

又∵AB⊂面ABE，∴平面ABE⊥平面BB1C1C.

(2)证明 取AC的中点M，连接C1M，FM

在△ABC，FM∥AB，而FM⊄平面ABE，AB⊂平面ABE，

∴直线FM∥平面ABE

在矩形ACC1A1中，E，M都是中点，∴C1E綉AM，四边形AMC1B是平面四边形，∴C1M∥AE

而C1M⊄平面ABE，AE⊂平面ABE，∴直线C1M∥ABE

又∵C1M∩FM＝M，∴平面ABE∥平面FMC1，而CF1⊂平面FMC1，

故C1F∥平面AEB.

(3)解 取B1C1的中点H，连接EH，则EH∥A1B1，所以EH∥AB且EH＝AB＝，

由(1)得AB⊥面BB1C1C，∴EH⊥面BB1C1C，

∵P是BE的中点，

∴VP­B1C1F＝VE­B1C1F＝×S△B1C1F·EH＝