Question

如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明：

(1)∠FEB＝∠CEB；

(2)EF²＝AD·BC.

Answer

见解析

【解析】

证明 (1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.

由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，

从而∠EAB＋∠EBF＝；

又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝，

从而∠FEB＝∠EAB.

故∠FEB＝∠CEB.

(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，

∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，

得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.

同理可证，得AD＝AF.

又在Rt△AEB中，EF⊥AB，

故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.