Question

已知函数f(x)＝ax³－x²＋cx＋d(a，c，d∈R)满足f(0)＝0，f′(1)＝0，且f′(x)≥0在R上恒成立．

(1)求a，c，d的值；

(2)若h(x)＝x²－bx＋－，解不等式f′(x)＋h(x)<0.

Answer

（1）a＝，c＝ d＝0（2）当b>时，解集为，当b<时，解集为，当b＝时，解集为∅

【解析】(1)∵f(0)＝0，∴d＝0，∵f′(x)＝ax2－x＋c.又f′(1)＝0，∴a＋c＝.∵f′(x)≥0在R上恒成立，即ax2－x＋c≥0恒成立，∴ax2－x＋－a≥0恒成立，显然当a＝0时，上式不恒成立．∴a≠0，

∴

即解得a＝，c＝.

(2)由(1)知f′(x)＝x2－x＋.

由f′(x)＋h(x)<0，得x2－x＋＋x2－bx＋－<0，即x2－x＋<0，

即(x－b) <0，当b>时，解集为，

当b<时，解集为，当b＝时，解集为∅