Question

如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP＝θ(0<θ<π)，C点坐标为(－2,0)，平行四边形OAQP的面积为S.

(1)求·＋S的最大值；

(2)若CB∥OP，求sin 的值．

Answer

（1）＋1（2）

【解析】(1)由已知，得A(1,0)，B(0,1)，P(cos θ，sin θ)，

因为四边形OAQP是平行四边形，

所以＝＋＝(1,0)＋(cos θ，sin θ)

＝(1＋cos θ，sin θ)．

所以·＝1＋cos θ.

又平行四边形OAQP的面积为

S＝||·| |sin θ＝sin θ，

所以·＋S＝1＋cos θ＋sin θ＝sin ＋1.

又0<θ<π，

所以当θ＝时，·＋S的最大值为＋1.

(2)由题意，知＝(2,1)，＝(cos θ，sin θ)，

因为CB∥OP，所以cos θ＝2sin θ.

又0<θ<π，cos2θ＋sin2θ＝1，

解得sin θ＝，cos θ＝，

所以sin2 θ＝2sin θcos θ＝，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝.

所以sin＝sin 2θcos－cos 2θsin＝×－×＝.