Question

已知数列{a_n}成等比数列，且a_n＞0.

(1)若a₂－a₁＝8，a₃＝m.①当m＝48时，求数列{a_n}的通项公式；②若数列{a_n}是唯一的，求m的值；

(2)若a_2k＋a_2k－1＋…＋a_k＋1－(a_k＋a_k－1＋…＋a₁)＝8，k∈N^*，求a_2k＋1＋a_2k＋2＋…＋a_3k的最小值．

Answer

（1）见解析（2）32

【解析】设公比为q，则由题意，得q＞0.

(1)①由a2－a1＝8，a3＝m＝48，得

解之，得或

所以数列{an}的通项公式为

an＝8(2－)(3＋)n－1，或an＝8(2＋)(3－)n－1.

②要使满足条件的数列{an}是唯一的，即关于a1与q的方程组有唯一正数解，即方程8q2－mq＋m＝0有唯一解．

由Δ＝m2－32m＝0，a3＝m＞0，所以m＝32，此时q＝2.

经检验，当m＝32时，数列{an}唯一，其通项公式是an＝2n＋2.

(2)由a2k＋a2k－1＋…＋ak＋1－(ak＋ak－1＋…＋a1)＝8，

得a1(qk－1)(qk－1＋qk－2＋…＋1)＝8，且q＞1.

a2k＋1＋a2k＋2＋…＋a3k＝a1q2k(qk－1＋qk－2＋…＋1)＝＝8

≥32，

当且仅当qk－1＝，即q＝，a1＝8(－1)时，

a2k＋1＋a2k＋2＋…＋a3k的最小值为32