Question

已知等差数列{a_n}满足：a₂＝5，a₄＋a₆＝22，数列{b_n}满足b₁＋2b₂＋…＋2^n－1b_n＝na_n，设数列{b_n}的前n项和为S_n.

(1)求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；

(2)求满足13<S_n<14的n的集合．

Answer

（1）bn＝（2）{n|n≥6，n∈N*}

【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，则a1＋d＝5，(a1＋3d)＋(a1＋5d)＝22.

解得a1＝3，d＝2.∴an＝2n＋1.

在b1＋2b2＋…＋2n－1bn＝nan中，令n＝1，则b1＝a1＝3，又b1＋2b2＋…＋2nbn＋1＝(n＋1)an＋1，

∴2nbn＋1＝(n＋1)an＋1－nan.

∴2nbn＋1＝(n＋1)(2n＋3)－n(2n＋1)＝4n＋3.

∴bn＋1＝.

∴bn＝ (n≥2)．经检验，b1＝3也符合上式，

则数列{bn}的通项公式为bn＝.

(2)Sn＝3＋7·＋…＋(4n－1)·n－1，Sn＝3·＋7·2＋…＋(4n－5)·n－1＋(4n－1) n.

两式相减得

Sn＝3＋4－(4n－1)·n，∴Sn＝3＋4·－(4n－1) n.∴Sn＝14－.

∴∀n∈N*，Sn<14.

∵数列{bn}的各项为正，

∴Sn单调递增．

又计算得S5＝14－<13，S6＝14－>13，

∴满足13