Question

已知数列{a_n}满足a₁＝a(a＞0，a∈N^*)，a₁＋a₂＋…＋a_n－pa_n＋1＝0(p≠0，p≠－1，n∈N^*)．

(1)求数列{a_n}的通项公式a_n；

(2)若对每一个正整数k，若将a_k＋1，a_k＋2，a_k＋3按从小到大的顺序排列后，此三项均能构成等差数列，且公差为d_k.①求p的值及对应的数列{d_k}．

②记S_k为数列{d_k}的前k项和，问是否存在a，使得S_k＜30对任意正整数k恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）an＝（2）①p＝－，dk＝9a·2k－1或p＝－，dk＝k－1②a＝13.

【解析】(1)因为a1＋a2＋…＋an－pan＋1＝0，所以n≥2时，a1＋a2＋…＋an－1－pan＝0，两式相减，得 (n≥2)，故数列{an}从第二项起是公比为的等比数列，又当n＝1时，a1－pa2＝0，解得a2＝，

从而an＝

(2)①由(1)得ak＋1＝k－1，ak＋2＝k，ak＋3＝k＋1，

若ak＋1为等差中项，则2ak＋1＝ak＋2＋ak＋3，

即＝1或＝－2，解得p＝－；

此时ak＋1＝－3a(－2)k－1，ak＋2＝－3a(－2)k，

所以dk＝|ak＋1－ak＋2|＝9a·2k－1，

若ak＋2为等差中项，则2ak＋2＝ak＋1＋ak＋3，即＝1，此时无解；

若ak＋3为等差中项，则2ak＋3＝ak＋1＋ak＋2，即＝1或＝－，

解得p＝－，

此时ak＋1＝－k－1，ak＋3＝－k＋1，所以dk＝|ak＋1－ak＋3|＝k－1，

综上所述，p＝－，dk＝9a·2k－1或p＝－，dk＝k－1.

②当p＝－时，Sk＝9a(2k－1)．

则由Sk＜30，得a＜，

当k≥3时，＜1，所以必定有a＜1，

所以不存在这样的最大正整数．

当p＝－时，Sk＝，

则由Sk＜30，得a＜，因为＞，所以a＝13满足Sk＜30恒成立；但当a＝14时，存在k＝5，使得a＞即Sk＜30，

所以此时满足题意的最大正整数a＝13