Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆x²＋y²－12x＋32＝0的圆心为Q，过点P(0,2)且斜率为k的直线l与圆Q相交于不同的两点A，B.

(1)求圆Q的面积；

(2)求k的取值范围；

(3)是否存在常数k，使得向量＋与共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由．

Answer

(1)4π. (2) (3)没有符合题意的常数k

【解析】(1)圆的方程可化为(x－6)2＋y2＝4，可得圆心为Q(6，0)，半径为2，故圆的面积为4π.

(2)设直线l的方程为y＝kx＋2.直线l与圆(x－6)2＋y2＝4交于两个不同的点A，B等价于＜2，化简得(－8k2－6k)＞0，解得－＜k＜0，即k的取值范围为.

(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，由

得(k2＋1)x2＋4(k－3)x＋36＝0，

解此方程得x1,2＝.

则x1＋x2＝－，①

又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4.②

而P(0,2)，Q(6,0)，＝(6，－2)．

所以＋与共线等价于－2(x1＋x2)＝6(y1＋y2)，将①②代入上式，解得k＝－.由(2)知k∈，故没有符合题意的常数k