Question

如图，在四棱锥P ­ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD＝90°，且AB＝2AD＝2DC＝2PD＝4，E为PA的中点．

(1)求证：DE∥平面PBC；

(2)求证：DE⊥平面PAB.

Answer

（1）见解析（2）见解析

【解析】(1)设PB的中点为F，连接EF、CF，EF∥AB，DC∥AB，

所以EF∥DC，且EF＝DC＝AB.

故四边形CDEF为平行四边形，可得ED∥CF.

又ED⊄平面PBC，CF⊂平面PBC，

故DE∥平面PBC.

(2)因为PD⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，

所以AB⊥PD.

又因为AB⊥AD，PD∩AD＝D，AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD.

ED⊂平面PAD，故ED⊥AB.又PD＝AD，E为PA的中点，故ED⊥PA；

PA∩AB＝A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，

所以ED⊥平面PAB.