Question

如图，在直三棱柱ABC ­A₁B₁C₁中，已知∠ACB＝90°，M为A₁B与AB₁的交点，N为棱B₁C₁的中点，

(1)求证：MN∥平面AA₁C₁C；

(2)若AC＝AA₁，求证：MN⊥平面A₁BC.

Answer

（1）见解析（2）见解析

【解析】(1)连接AC1，因为M为A1B与AB1的交点，所以M是AB1的中点，又N为棱B1C1的中点．所以MN∥AC1，

又因为AC1⊂平面AA1C1C，MN⊄平面AA1C1C，

所以MN∥平面AA1C1C.

(2)因为AC＝AA1，所以四边形AA1C1C是正方形，

所以AC1⊥A1C，又AC1∥MN，所以A1C⊥MN.

又因为ABC­A1B1C1是直三棱柱，

所以CC1⊥平面ABC，因为BC⊂平面ABC，所以CC1⊥BC.

又因为∠ACB＝90°，所以AC⊥BC，

因为CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面AA1C1C，又AC1⊂平面AA1C1C，

所以BC⊥AC1，

因为MN∥AC1，所以MN⊥BC，又MN⊥A1C，

又BC∩A1C＝C，所以MN⊥平面A1BC.