Question

如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC＝O，沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED.

(1)求证：BD⊥平面POA；

(2)记三棱锥P ­ABD体积为V₁，四棱锥P ­BDEF体积为V₂，且，求此时线段PO的长．

Answer

（1）见解析（2）

【解析】(1)在菱形ABCD中，∵BD⊥AC，

∴BD⊥AO.

∵EF⊥AC，∴PO⊥EF，

∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED＝EF，且PO⊂平面PEF.

∴PO⊥平面ABFED，

∵BD⊂平面ABFED，

∴PO⊥BD.

∵AO∩PO＝O，AO，PO⊂平面POA.

∴BD⊥平面POA.

(2)设AO∩BD＝H

由(1)知，PO⊥平面ABFED，PO＝CO.

∴PO是三棱锥P­ABD的高及四棱锥P­BDEF的高

∴V1＝S△ABD·PO，V2＝S梯形BFED·PO

∵∴S梯形BFED＝S△ABD＝S△BCD

∴S△CEF＝S△BCD

∵BD⊥AC，EF⊥AC，∴EF∥BD，∴△CEF∽△CDB

∴＝

∴CO＝CH＝AH＝×2＝

∴线段PO的长为.